Page 55 - Demo
P. 55

TI Python BootCamp ITERATIES
Nog twee definities:
o Fixpunt of vast punt
x iseenvastpuntvan F als F(x)=x.
x®F(x) = x®F2(x) = F(F(x)) = F(x) = x®x®x ®x®... We zeggen dat de startwaarde ter plaatse blijft.
Python ITERATIES & FUNCTIES
  Het bepalen van een fixpunt komt neer op het oplossen van de vergelijking F(x) = x . o Periodiek punt
 x noemenweeenperiodiekpuntalsereen n>0 bestaatzodat Fn(x)=x.
x ®x =F(x )®x =F2(x )®x =F3(x )®...®x =Fn(x )=x ®x ®x ®...
0102030n0012 x ®x ®x ®x ®...®x ®x ®x ®x ®x ®...®x ®x ®...
0 1 2 3 n-1 0 1 2 3 n-1 0 De baan van x0 is een periodieke baan met periode n of een n -cyclus.
4.2. Newton-Raphson
De methode van Newton-Raphson is een iteratieve numerieke benaderingmethode van nulpunten die gebruik maakt van de raaklijn aan de grafiek van de functie.
Vertrekkende van een startwaarde 𝑥! berekenen we het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek in het punt (x0,f(x0))metde x-as.
De x-coördinaat van dit snijpunt is de volgende benadering, x1 , van het nulpunt. We herhalen deze werkwijze voor x en bekomen zo het punt x als snijpunt van de raaklijn in het punt (x , f (x )) met de x -as.
1211 Hetsteedsverderzettenvanditprocesgenereerteenrij x0,x1,x2,x3,x4,...dievoorheelwatfuncties
convergeert naar een nulpunt. De exacte voorwaarde voor convergentie behandelen we hier niet.
f
x3x2x1 x0
We bepalen de iteratiefunctie die aan de basis ligt van de methode van Newton-Raphson.
De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in (xn , f (xn )) is van de vorm: y- f(xn)= f '(xn)(x-xn)Û y= f(xn)+ f '(xn)(x-xn).
Voorhetsnijpuntvanderaaklijnmetde x-asgeldt y=0zodat x=xn - f(xn). f '(xn )
  © 2020 T3 Nederland – T3 Vlaanderen 5 www.t3nederland.nl – www.t3vlaanderen.be












































































   53   54   55   56   57